PROPOSICIONES, CONJUNTOS, ECUACIONES, FUNCIONES

UNIDAD N°1

a) PROPOSICIONES
 Son las que se denominan por tener un valor de verdad que puede ser verdadero o falso de acuerdo a su particularidad. 
Cuando decimos que es un valor verdadero la denominamos de esta manera 
V: 1
Al contrario cuando es falso la denominamos así:
F: 0

http://definicion.de/proposicion-matematica/

Se clasifican en proposiciones simples y compuestas:

Proposiciones Simples: Aquellas proposiciones no poseen conectores lógicos.

 Proposiciones Compuestas: Están formadas por otras proposiciones y si poseen operadores lógicos.

  Ejemplos de proposiciones simples:
a) Los zapatos sucios 
b) Se dañó la silla 
c) Usa abrigo 

Ejemplos de proposiciones compuestas:
a) Ella está jugando o estudiando 
b) El celular es Samsung o Nokia 
c) La hoja es de cuadro o de línea

Nota: No todas las oraciones son proposiciones.

Oraciones que no son proposiciones

 Imperativas, exclamativa e interrogativas. 



http://www.ejemplos.co/40-ejemplos-de-proposiciones-simples-y-compuestas/

b) OPERADORES LÓGICOS

Los operadores lógicos son los que se conecta entre sí para distinguir el valor de verdad que tiene una proposición.

Se dividen en:

Nombre	Simbología	Descripción
Negación(No)	⇁	Se invierte el valor de verdad Ejemplo:    Q=V         Q=F
Conjunción(y)	^	Indica que es verdadero cuando ambas son verdaderas
Disyunción(ó)	v	Indica que es falso cuando amabas son falsas
Disyunción exclusiva	᷿v	Indica que solo una de las variables puede ser verdadera para que el resultado sea verdadero , de lo contrario el resultado sería falso
Condicional(entonces)	→	Indica que es falso solo cuando el primer valor de verdad es verdadero y el segundo falso
Bicondicional	↔	Indica que es verdadera cuando ambos valores son falsos o verdaderos

 

 https://www.scribd.com/doc/158327987/Propiedades-de-Operadores-Logicos

 TAUTOLOGIA

 La tautologia es una formula bien formada que en la tabla de verdad siempre sera verdadera 

Ejemplo  

     pv⇁p

p	⇁p	p  v ⇁ p
0	1	1
1	0	1

Como podemos observar, Es una Tautologia por que los valores son verdaderos 
CONTRADICCIÓN:
En la contradicción siempre los valores de verdad seran falsos, solo depende de la formaen que esten constituidas las relaciones sintácticas de una con otras

q	⇁q	q ^ ⇁ q
0	1	0
1	0	0

 http://definicion.de/contradiccion/

CONTINGENCIA:

Todos los valores de verdad seran alternados o sea dependiendo de la valoración de los símbolos proposicionales que contiene seran falsos y verdaderos al mismo tiempo.

r	⇁s	r → s
0	1	0
1	0	1

 http://definicion.de/contingencia/ 

UNIDAD N°2

A) DEFINICIÓN DE CONJUNTOS  

Los conjuntos son los que representan una agrupación o colección de objetos, en los conjuntos podemos encontrar los siguientes elementos: personas,números,colores,letras,figuras, etc 

Ejemplo:

 

 

 A= {x/x los colores de la  bandera del Ecuador}

A= {Amarillo, Azul, Rojo}

 

 B) TIPOS DE CONJUNTOS 

 

 

https:/www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/3.do

 

Conjunto Universal O Referencia

Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.Se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, pero en la actualidad está demostrado que este conjunto no existe. Al presente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Si tratamos conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sería el que estuviera formado por todas las letras del alfabeto. 

 

 

Conjunto universal | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/conjunto-universal#ixzz4lsB7D1aU

Conjunto vacío

Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.

Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha.
También, haciendo uso de la descripción por extensión representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}.    Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes

Es un conjunto vacio ∅

https://es.scribd.com/doc/62863250/CONJUNTO-VACIO

 Conjuntos unitarios

El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.  No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

 

 

 

 

 

 

Conjuntos finitos

Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee.  Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.
Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras.  En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos.  Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos. 

 Conjuntos infinito 

No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de este tipo de conjuntos.  Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen.  El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión,ejemplo: las estrellas, las nubes, el universo, los números.

 

https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/3.do

 

     c) Operaciones entre conjuntos

En las operaciones entre conjuntos conocida también como algebra de conjuntos en ella se pueden realizar algunas operaciones básicas  se clasifican en Unión , intersección, diferencia, simetría y complemento

 

 https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/25/operaciones-de-conjuntos

Unión entre conjuntos:

Es la unificación de dos elementos de los elementos de dos conjuntos

Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria (aquella operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que se pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

 

 

http://matematica.laguia2000.com/general/union-de-conjuntos#ixzz4luD9h8hC

Intersección de conjuntos

Es la union entre el conjunto de A y el conjunto de B en donde la intersección es un nuevo conjunto

El simbolo con el que se representa la intersección es este: ∩

A = { a, b, c, d, e}     y         B = { a, e, i, o}

http://matematicasquinto3.webnode.com.co/news/interseccion-de-comjunto

 Diferencia entre conjuntos 
 

Dado dos conjuntos diferente A y B aquello se denomina una diferencia de conjuntos  por que los elementos del conjunto A no van a pertenecer a los elementos del conjunto B   su simbología es –

Ejemplo:

 Si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:  

A –  B = {b, c, d}

A la derecha, se representa dicha diferencia.

Diferencia simétrica entre conjuntos 

El símbolo de la DIFERENCIA SIMÉTRICA es (Δ)  

 se denomina a que dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos sin tener en cuenta su intersección.

A = { a, b, c, d, e}     y         B = { a, e, i, o}

Complementación de conjuntos 
 El complemento de u conjunto X se forma con los elementos   que le hacen falta al conjunto  X  para ser igual al conjunto universal. Esto de representa con A^c.   

 

 

https://es.slideshare.net/JanCarlosSaldarriaga/conjunto-ejerciciosyteoria

UNIDAD N°3

DEFINICIÓN DE ECUACIONES:

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplos de ecuaciones:

36 + x	=	– 12
115	=	4x – 41
x + 124	=	70 – 2
5x + 3y – 4	=	0
5 – ab	=	ax – by
2x + 8	=	3x – 12
0	=	3xy + 3x – 5
2/3x ÷ 4/7y	=	– 28

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EcuacioConcepto.htm

 Ecuaciones de primer grado:
las ecuaciones de este tipo se definen como aquellas que presentan un planteamiento de igualdad donde existe una o más variables a la primera potencia. Por lo tanto, las ecuaciones de este tipo se resuelven únicamente con sumas y restas de variables que están expresadas a la primera potencia. También son conocidas como ecuaciones lineales.

X-3 =3-X

Pasamos las x a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):

En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:
 

Sumamos los monomios con x’s: 

En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando: 

Sumamos los monomios de la derecha:

El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:
 

Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3


www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-ecuaciones-ec. html

Ecuaciones de segundo grado:
 como su nombre lo indica, este tipo de ecuaciones son aquellas que tienen la forma de una suma algebraica cuyo grado máximo es dos. Esto quiere decir que están representadas por un polinomio de segundo grado o cuadrático. Es por ello que a este tipo de ecuaciones también se les conoce como cuadráticas.

El discriminante de la ecuación es

Δ=b2−4ac=

=22−4⋅1⋅1=

=4−4=0

Por tanto, la ecuación tiene una solución real doble.
Aplicamos la fórmula:
 

Luego la solución doble es x = -1.
Una factorización de la ecuación es
                 

Ecuaciones racionales:
este tipo de ecuaciones son aquellas que tienen una o más incógnitas que no son únicamente algebraicas sino que pueden ser de otro tipo, aunque su solución únicamente se puede hacer mediante el álgebra.

1: Aislamos el radical

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

 

La ecuación tiene por solución x = 2.

 

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu2_Contenidos.html

UNIDAD N°4

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado Rango o condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Ejemplo

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o condominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html

 

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo: Hacer la función, la tabla y la gráfica para la ecuación: y= X+1

f(x) = X+1 Realizamos nuestra tabla y su gráfica:

                                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
  La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

y = x² +4x+ 3.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu_Contenidos.html

Funciones polinómicas

Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

las de grado cero como f(x)=2, son rectas horizontales; 9 las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas oblicuas; 9las de grado dos, como

f(x)=2x2+4x+3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas

Ejemplo:

 

www.calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/polinomicas.html